Cómo crear un fragmento de JavaScript que se pueda incrustar en una página web para mostrar solo la mitad de la página y mostrar un formulario sobre ella

Si te entiendo correctamente, lo que quieres es una especie de superposición sobre tu sitio web que tenga un formulario. Si esto es cierto, esto puede hacerse principalmente mediante HTML y CSS y tener algunos javascript adjuntos a un botón u otro evento que le indique al HTML de la superposición que se muestre de una forma u otra. Esto lo puede hacer, por ejemplo, una clase:

y agregue la clase al elemento en javascript, suponiendo que ya lo haya guardado en una variable:

overlayEl.classList.add (‘show’);

y asegúrese de que solo se muestre en CSS cuando esta clase esté presente. Además, para asegurarse de que el div bloquea el otro contenido en la pantalla, observe la posición y las propiedades del índice z. También asegúrese de que el ancho y la altura sean la mitad de la pantalla.

Ahora, esta es una solución y es un ejemplo muy básico, pero si entiendo su pregunta, no querrá un tutorial práctico.

Para responder a su pregunta: cómo se implementa de manera más eficiente realmente depende del marco que esté utilizando. Seguramente sea posible en lo que sea que use, en realidad solo necesitará Javascript, HTML y CSS de vainilla.