¿Es posible abrir un archivo en mi computadora y leerlo o escribirlo usando un script en un sitio web como usar fopen ()?

Has escrito la pregunta de forma muy ambigua (a partir de la noche del 18/09/2017). Pero aquí está la primicia general:

1. Si quiere decir, ¿puede crear un sitio web que permita a un usuario web (usted) manipular archivos en la computadora que sirve esas páginas web: Sí. Esto es posible si controla tanto el código como la implementación. Normalmente, uno no debería (no debería hacerlo por razones de seguridad) hacer esto, excepto de una manera muy controlada, permitiendo el acceso a archivos específicos, etc.
2. Si quiere decir, ¿puede crear un sitio web que navegue y abra los archivos de los usuarios y escriba en uno de esos archivos: No, en realidad no. Podría aprovechar defectos de seguridad específicos o, en algunos casos, solicitar un permiso específico y tal vez tener éxito en esto. Pero requeriría que el usuario haya cometido todo tipo de errores de seguridad. La mayoría de los sistemas operativos y navegadores se esfuerzan para evitar esto.

Lo más parecido a la segunda interpretación anterior es cuando permite que el usuario cargue un archivo de su elección, luego manipula ese archivo y permite que el usuario lo descargue nuevamente. O de lo contrario obtener algo de salida al respecto.