La forma en que se formula la pregunta es un poco confusa, pero responderé con los siguientes supuestos:
- tienes una aplicación que se comunica con una API
- estás buscando alojar la API en algún lugar
Y supongo (ya que hace esta pregunta) que es una startup / esta es una de sus primeras aplicaciones
El enfoque moderno en este caso sería utilizar un servicio como Amazon EC2, Google AppEngine, Heroku, etc.
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Estas soluciones administradas facilitan comenzar y escalar más adelante
La alternativa es administrar el servidor usted mismo usando un servidor privado dedicado o virtual, esto puede terminar siendo más costoso y debe lidiar con la configuración, la seguridad, etc.
Verifique Heroku, debería comenzar, puede usarlo de forma gratuita mientras realiza las pruebas y cuando necesite un poco más de potencia, simplemente puede actualizarlo
Implementar aplicaciones JVM modernas | Java, Scala, Clojure | Heroku
Editar: Olvidé mencionar que los diferentes servicios tienen soporte diferente para los motores de bases de datos. Heroku recomienda Postgres pero el soporte de MySQL está disponible a través de complementos
