¿ASP.NET es algo que debes aprender como desarrollador web front-end?

La única razón real sería la comerciabilidad; Muchas empresas no pueden permitirse el lujo de tener desarrolladores especializados, por lo que quieren a alguien que pueda hacer tanto la codificación del servidor como del servidor. Los marcos decentes del lado del servidor están diseñados para ser independientes de lo que está haciendo el lado del cliente; solo genera HTML / JSON / XML y deja que tu JavaScript y CSS descubran qué hacer con él.
Dicho esto, tan pronto como pueda financiarlo, quiero agregar un tipo front-end especializado a mi equipo. Quiero a alguien que pueda optimizar nuestra aplicación web en el lado del navegador, que sepa cómo utilizar mejor los marcos JavaScript del lado del cliente, que pueda manejar las incompatibilidades del navegador y aprovechar Bootstrap, etc. Ese es un mundo completamente diferente para ASP.NET, y digo que como desarrollador de ASP.NET.

Cuando estás involucrado en proyectos .net como desarrollador front-end, a veces es posible que necesites trabajar directamente en vistas en Visual Studio, entonces puede ser útil si conoces la sintaxis de Razor. Pero no es un deber.

No es un deber. Asp .net es solo uno de los muchos frameworks web que existen. Todo depende de la empresa para la que vaya a trabajar. Otras alternativas son Rails, NodeJS / Express, etc.