¿Cómo escucho música en Youtube y uso otra aplicación al mismo tiempo?

Debería ser igual para cualquiera de los teléfonos Android, pero si solo abre la aplicación de música que elija (aplicación estándar, Amazon mp3, Spotify, Pandora, Rdio, etc.) y comienza a escuchar música, puede salir a la pantalla de inicio o abra otra aplicación que ya esté abierta y úsela. Tu música se ejecutará en segundo plano y deberías poder acceder a tu música desde un widget en tu pantalla de inicio o arrastrando hacia abajo la barra superior y accediendo a ella desde allí.

Editar: veo que has etiquetado a Youtube; no puedes escuchar música en Youtube y luego salir para usar otra aplicación o bloquear la pantalla. Piénselo de esta manera: YouTube (originalmente) está destinado a ser usado para mirar videos. Si haces algo que hace que no estés viendo el video, el video se detendrá. Por lo tanto, no puede ver videos de Youtube y luego cambiar a una aplicación diferente.

Editar: se agregó “Android” para mayor claridad; Esto también es válido para los iPhones e imagino que también es válido para los teléfonos con Windows.

Ahora hay una aplicación para hacer eso.

Symphony Background Music – Aplicaciones de Android en Google Play