¿Cuál es un buen marco de back-end para manejar llamadas AJAX?

Depende de cuál es tu objetivo.

Por simplicidad de la pila tecnológica: PHP o JavaScript. PHP porque se conecta directamente a su servidor Apache, no tiene proxy inverso o tiene que configurar un proceso PHP.

JavaScript porque ya lo está utilizando en la interfaz para que no agregue otra dependencia de idioma. Use algo como Expressjs con el adaptador postgres (creo que se llama ‘pg’) o haga una secuencia si quiere un ORM. JavaScript también es bueno porque JSON es la notación de objetos JavaScript y la mayoría de los servidores web JS ofrecen respuestas JSON fácilmente.

Python Flask o Pyramid funcionarían, nuevamente podría funcionar para Django si necesita una interfaz de administrador, ORM, una gestión de sesión adecuada.

Java tiene un montón de opciones decentes, Spring, Springboot, Dropwizard. Sin embargo, agregar Java a su pila agregará una gran cantidad de volumen, debe aprovisionar sus máquinas con la versión JVM y Java correcta, por ejemplo.

Tiene su plataforma de back-end ahora debe elegir un idioma y luego elegir un marco dentro de ese idioma.

Ese sería mi próximo paso.

Editado: como señaló Paul Tomblin, se eligió el back-end.

La compatibilidad de Apache no debería ser una restricción a cualquier marco que desee utilizar.

Además, no creo que haya ninguno que no pueda manejar sus solicitudes de Ajax. Puede probar algunos y seleccionar el que más le convenga.

Por mi parte, elegiría Django para Python y Spring boot para Java