¿Cuál es la diferencia entre la llamada de servicio web, las llamadas de API y las llamadas asíncronas como AJAX en el desarrollo web? ¿Cómo y cuándo usarlos?

La API y el servicio web sirven como medio de comunicación. La única diferencia es que un servicio web facilita la interacción entre dos máquinas en una red. Una API actúa como una interfaz entre dos aplicaciones diferentes para que puedan comunicarse entre sí. Una API es un método mediante el cual los proveedores externos pueden escribir programas que interactúan fácilmente con otros programas. Un servicio web está diseñado para tener una interfaz que se representa en un formato procesable por máquina, generalmente especificado en el lenguaje de descripción de servicio web (WSDL).

Las llamadas de AJAX son un poco diferentes, supongamos que estás en Starbucks, y pides un café ahora hay mucha prisa y todos los pedidos tardan unos 10 minutos más o menos. Mientras tanto, decides leer un libro mientras esperas tu café.
Por lo tanto, está esperando de forma asíncrona que algo suceda para que el café se prepare, lo llamarán por su nombre y dejarán su libro para tomar su café. Al hacer esto, obviamente has ahorrado esos 10 minutos de estar inactivo a leer un libro.
Las llamadas de Ajax hacen lo mismo cuando su página HTML hace que Ajax llame, se olvida de la llamada y continúa haciendo sus negocios, pero cuando se devuelve la respuesta, esa respuesta se procesa.

Espero que esto ayude

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API es un término más genérico. Como su nombre indica, permite que terceros utilicen la aplicación al exponer diferentes acciones.
El servicio web es una API que funciona a través de HTTP ya que la web está involucrada. Ahora los servicios web pueden estar basados ​​en REST o SOAP. Si es REST, la API se expone a través de los verbos GET, POST, PUT, DELETE y los clientes pueden usar directamente esos verbos y pueden obtener los resultados necesarios.

Ajax no está relacionado con el fenómeno API y su técnica del lado del cliente. Es una técnica asincrónica para enviar datos xml / json. Ajax permite al cliente enviar datos al backend sin interferir con la interfaz de usuario / front end. Tan pronto como recibe la respuesta, el front end se actualiza.