Realmente hicimos exactamente de lo que estás hablando. Desarrollamos una aplicación de chat completamente funcional usando Firebase y Parse para iOS y Android.
Firebase es excelente para la entrega de mensajes en tiempo real. Parse es excelente para el almacenamiento de datos, notificaciones push y código en la nube, por lo que los dos van bien juntos.
Hay varias configuraciones posibles:
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Simplemente puede usar Parse para notificaciones push y almacenamiento de archivos y usar Firebase para todo lo demás. O puede usar Parse para notificaciones push, almacenamiento de archivos y perfiles de usuario y usar Firebase para la entrega de mensajes.
Con el segundo enfoque, puede usar el código de la nube para generar un token para autenticarse con Firebase. El código de la nube es solo un servidor Node.js y es bonito generar un JWT para Firebase.
Lanzamos nuestra aplicación en Github como un proyecto de código abierto (proyecto MIT), así que no dudes en echarle un vistazo. Hay versiones para iOS y Android que son compatibles entre sí.
PS Parse se está cerrando, sin embargo, hay una serie de servicios disponibles que emulan todas las funciones de Parse. En esta respuesta, cuando hablo de Parse, ahora me refiero al servidor Parse de código abierto en lugar de a la compañía Parse.