¿Qué software usa la NASA para controlar las misiones?

Supongo que te refieres específicamente a misiones espaciales, y la respuesta de Robert Frost es excelente.
Sin embargo, la NASA también realiza investigaciones de vuelo aeronáutico. Incluso antes de que la NASA comenzara en 1958, su precursor, NACA, estaba realizando pruebas de vuelo con aviones.
Los ejemplos más famosos son los aviones X, que comienzan con el supersónico volador X-1 por primera vez en 1947. Actualmente, la NASA está investigando con el X-56A.

La mayoría de las pruebas de vuelo aeronáutico de la NASA se realizan en el Armstrong Flight Research Center (AFRC) en Edwards AFB en California. El control de la misión es una parte de la gama de pruebas aeronáuticas Dryden.
Muchos proyectos usan el software IADS para monitorear la telemetría, pero algunos proyectos usan otro software COTS, software proporcionado por el constructor de la aeronave (por ejemplo, Boeing, Lockheed Martin) o software desarrollado internamente en AFRC.

(Ese soy yo en la camisa azul).

Soy un gran fanático de los vuelos espaciales, y me encanta ver transmisiones en vivo de lanzamientos, EVA y aterrizajes en el espacio profundo. Si bien la investigación aeronáutica no es tan glamorosa, creo que tiene un impacto práctico más directo en los ciudadanos promedio, haciendo que los aviones sean más rápidos, más silenciosos, más seguros, más eficientes y mejores para el medio ambiente. Desde 1915

La mayoría de las aplicaciones que utilizamos se crean internamente. Esta foto es de una de las consolas utilizadas por mi grupo. Cada aplicación que se ejecuta en esta consola se creó internamente en Johnson Space Center. Desde las aplicaciones abiertas en esta consola, se puede ordenar cada sistema en el segmento estadounidense de la EEI.

La mayoría de estas pantallas muestran telemetría. La telemetría y los comandos se mantienen, en su mayor parte, separados por seguridad. Las pantallas de telemetría con la fuente verde se llaman pantallas MSK. Estos en particular se centran en el vehículo de carga HTV japonés y los sistemas del segmento estadounidense que interactúan con ese vehículo.

El cuadrado brillante en el monitor inferior derecho se llama pantalla PCS. Replica la interfaz que la tripulación usa a bordo.

En la parte inferior izquierda del monitor hay aplicaciones de comando llamadas Thinlayer e Command Inventory. Nos permiten enviar comandos preconstruidos, creados por el usuario y de plantillas, y vincular scripts de comandos con etiquetas de tiempo al vehículo.

Pero, nuevamente, esto es solo para la Dirección de Operaciones de Vuelo en Texas. En JPL, en California, podrían estar usando aplicaciones e interfaces bastante diferentes, lo que mejor se adapte a sus misiones.

Hay muchos productos de software patentados y comerciales utilizados en los miles de elementos involucrados en una misión de la NASA.